Rasyonel Sayılar - Konu Özeti 📘 7MAT4 #2026
Summary
Bu video, rasyonel sayıların ne olduğunu, nasıl ifade edildiğini ve sayı doğrusunda nasıl gösterildiğini detaylı bir şekilde açıklıyor. Rasyonel sayıların kesirler olarak bilinen sayıların genelleştirilmiş hali olduğunu vurgulayan anlatım, tam sayıları, basit kesirleri, bileşik kesirleri ve tam sayılı kesirleri kapsayan örneklerle konuyu pekiştiriyor. Ayrıca, ondalık gösterimler, devirli ve devirsiz sayılar arasındaki ilişki ile bu sayıların rasyonel sayılara dönüştürülmesi üzerinde duruluyor. Videonun son bölümünde, rasyonel sayıları sıralama yöntemleri (paydaları veya payları eşitleme, sayı doğrusundaki yakınlık gibi) ayrıntılı örneklerle gösterilerek konu tamamlanıyor.
Key Insights
Bir rasyonel sayı A/B formatında yazılır; A ve B tam sayı olmalı, B ise 0'dan farklı olmalıdır.
Rasyonel sayıların genel gösterimi A/B şeklindedir. Burada A (pay) ve B (payda) tam sayı olmalıdır. En önemli kural ise paydanın (B) asla 0 olamayacağıdır, yani 2/0 veya 5/0 gibi ifadeler tanımsızdır.
Devirli ondalık sayılar, özel bir formül kullanılarak rasyonel sayılara (A/B şeklinde) dönüştürülebilir.
Formül şöyledir: Sayının tamamı (virgül ve çizgisiz) - Devretmeyen kısım / Virgülden sonra kaç tane devirli rakam varsa o kadar 9, devretmeyen rakam varsa o kadar 0 yazılır. Örneğin, 2,45 devirli için (245 - 2) / 99 = 243/99.
Payları eşit olan rasyonel sayılarda, paydası küçük olan sayı daha büyüktür (pozitif sayılar için).
Örneğin, 7/2 ve 7/3 karşılaştırıldığında, paydası 2 olan 7/2 daha büyüktür çünkü bir bütün daha az parçaya bölünmüştür. Negatiflerde ise bu kural tersine döner (-7/2 < -7/3).
Sections
Rasyonel Sayı Nedir ve Temel Tanımlar
Rasyonel sayılar, eskiden bilinen kesirlerin A/B şeklinde ifade edilen akılcı sayılardır.
Rasyonel sayılar, 'akılcı sayılar' anlamına gelir ve daha önce bilinen 3/8 gibi kesirlerin artık bu genişletilmiş isimle anılacağını belirtir. Bu sayılar, π veya √2 gibi 'akılcı olmayan' irrasyonel sayılardan farklıdır.
Bir rasyonel sayı A/B formatında yazılır; A ve B tam sayı olmalı, B ise 0'dan farklı olmalıdır.
Rasyonel sayıların genel gösterimi A/B şeklindedir. Burada A (pay) ve B (payda) tam sayı olmalıdır. En önemli kural ise paydanın (B) asla 0 olamayacağıdır, yani 2/0 veya 5/0 gibi ifadeler tanımsızdır.
Tüm tam sayılar (pozitif, negatif ve sıfır) da birer rasyonel sayıdır.
Herhangi bir tam sayı, paydasına 1 eklenerek rasyonel sayı olarak ifade edilebilir. Örneğin, 6 sayısı 6/1 şeklinde yazılarak rasyonel bir sayı haline gelir. Bu, tam sayıların rasyonel sayılar kümesinin bir alt kümesi olduğunu gösterir.
Rasyonel sayıların sembolü Q'dur; tam sayılar Z, doğal sayılar N ile gösterilir.
Matematikte rasyonel sayılar 'Q' harfiyle, tam sayılar 'Z' harfiyle ve doğal sayılar 'N' harfiyle temsil edilir. Bu semboller, ilgili sayı kümelerini ifade etmek için kullanılır.
Tam sayılı kesirler ve bileşik kesirler rasyonel sayıları kapsar ve birbirlerine dönüştürülebilir.
Eskiden öğrenilen tam sayılı kesirler (örneğin, 2 tam 5/7) ve bileşik kesirler (örneğin, 19/7), rasyonel sayılar kümesinin parçasıdır. Bu kesirler için birleşik kesirden tam sayılı kesre veya tam sayılı kesirden birleşik kesre dönüşüm kuralları hatırlatılır.
Sıfırın sağındaki rasyonel sayılar pozitif, solundakiler ise negatif rasyonel sayılardır.
Sayı doğrusunda 0 noktasına göre sağ tarafta yer alan rasyonel sayılar pozitif, sol tarafta yer alanlar ise negatif rasyonel sayılar olarak adlandırılır.
Negatif rasyonel sayılarda eksi işareti pay, payda veya ortada gösterilebilir ve hepsi aynı anlama gelir.
Örneğin, -5/6, 5/-6 ve ortada eksi işaretiyle gösterilen -5/6 ifadeleri aynı rasyonel sayıyı temsil eder. Ancak, -5/-6 gibi iki negatif işaretli kesir farklı bir rasyonel sayıya işaret eder.
Sayı Doğrusunda Rasyonel Sayıları Gösterme
Rasyonel sayıları sayı doğrusunda göstermek için payda eşitleme ve basit/bileşik kesir ayrımı önemlidir.
Bir rasyonel sayının sayı doğrusundaki yerini belirlemek için öncelikle kesrin basit mi yoksa bileşik mi olduğuna bakılır. Basit kesirler 0 ile 1 (veya -1 ile 0) arasında yer alırken, bileşik kesirler tam sayılı kesre çevrilerek hangi tam sayılar arasında oldukları belirlenir.
Basit kesirler 0 ile 1 arasında, negatif basit kesirler ise 0 ile -1 arasında yer alır.
Örneğin, 2/4 kesri 0 ile 1 arasına, -1/2 kesri ise 0 ile -1 arasına yerleştirilir. Bu aralıklar, paydanın gösterdiği eşit parçalara bölünerek kesrin tam konumu bulunur.
Tam sayılı kesirler, tam kısımlarının belirttiği iki tam sayı arasında bulunur ve payda kadar eşit parçaya bölünür.
Örneğin, -1 tam 1/3 kesri -1 ile -2 arasına yerleştirilir. Bu ara -1 ile -2 arasındaki bölüm, payda olan 3'e göre eşit parçalara bölünür ve pay olan 1'e karşılık gelen nokta işaretlenir.
Bileşik kesirler tam sayılı kesre çevrilerek sayı doğrusundaki konumları belirlenir.
7/3 gibi bir bileşik kesir, önce 2 tam 1/3'e çevrilir. Bu, kesrin 2 ile 3 arasında olduğunu gösterir. Sonra 2 ile 3 arasındaki kısım payda (3) kadar eşit parçaya bölünerek gösterilir.
Sayı doğrusunda, bir aralığın kaç eşit parçaya bölündüğü ve hangi parçanın alındığı (pay) kesrin konumunu belirler.
Farklı aralıkların farklı sayıda eşit parçaya bölündüğü durumlarda (örneğin, -1 ile -2 arası 4 eşit parçaya ayrılmışsa ve ilk parça alınmışsa bu -1/4 olur), bu bilgiler kesrin doğru yerini bulmak için kullanılır.
İki tam sayı arasındaki tam sayıların toplamı hesaplanırken, birbirini götüren pozitif ve negatif sayılar dikkate alınır.
Bir rasyonel sayının hangi iki tam sayı arasında olduğunu bulduktan sonra, bu tam sayılar arasındaki tüm tam sayıların toplamı soruluyorsa, pozitif ve negatif karşılıkları birbirini götürür (örneğin, -5 + 5 = 0). Sadece geriye kalan sayılar toplanır.
Ondalık Gösterimler ve Rasyonel Sayılar
Rasyonel sayılar, payda 10, 100, 1000 gibi 10'un kuvvetlerine genişletilerek ondalık gösterime çevrilebilir.
1/2 kesrini ondalık olarak göstermek için payda 10 yapılır (2*5=10), bu durumda kesir 5/10 olur ve ondalık olarak 0,5 şeklinde yazılır. 3/4 kesri ise payda 100 yapılarak (4*25=100) 75/100 yani 0,75 olarak gösterilir.
Tam sayılı kesirlerin ondalık gösteriminde, tam kısım virgülün soluna yazılır.
Örneğin, -1 tam 2/5 kesri, önce -1 tam 4/10'a çevrilir. Bu da ondalık olarak -1,4 şeklinde gösterilir. Tam kısım (-1) virgülün soluna, kesir kısmı (4/10) ise virgülden sonraki kısma yazılır.
Bazı rasyonel sayılar (örneğin 3/8), payda 10'un kuvvetlerine tam olarak genişletilemez ve özel bir yöntem gerektirir.
3/8 kesri için payda 10 veya 100 olmazken, 1000 yapılabilir (8*125=1000). Kesir -375/1000 olur ve ondalık olarak 0,375 şeklinde gösterilir. Bu tür durumlarda payda 10'un uygun bir kuvvetine genişletilir.
Ondalık gösterimler geriye doğru rasyonel sayılara çevrilirken, virgül sonrası basamak sayısı paydanın 10'un kuvvetini belirler.
0,5 ondalık gösterimi, virgülden sonra bir basamak olduğu için 5/10 şeklinde rasyonel sayıya çevrilir. 0,75 ise iki basamak olduğu için 75/100 olur. 5,32 ise 5 tam 32/100 olarak yazılır.
Bir oranın (kesrin) en küçük değerini bulmak için kesir sadeleştirilmelidir.
0,25'in a/b oranına eşit olduğu durumda, bu ondalık 25/100'e eşittir. Bu kesri sadeleştirdiğimizde (her iki tarafı 25'e bölerek) 1/4 elde ederiz. Bu durumda a=1 ve b=4 olur, a+b toplamının en küçük değeri 5'tir.
Devirli Ondalık Sayılar
Devirli ondalık sayılar, virgülden sonra bir veya daha fazla rakamın sonsuza kadar tekrar etmesidir.
Örneğin, 5/3 işlemi sonucunda 1,666... elde edilir. Buradaki '6' rakamı sonsuza kadar tekrar ettiği için 1,6 devirli ondalık sayı olarak gösterilir (üzerine çizgiyle).
Tekrar eden rakamın üzerine konulan çizgi, o rakamın veya rakam grubunun sonsuza dek süreceğini belirtir.
2,6 devirli ifadesi, 6'nın tekrar ettiğini (2,666...) gösterir. 0,54 devirli ise 54'ün tekrar ettiğini (0,545454...) belirtir.
Devirli ondalık sayılar, özel bir formül kullanılarak rasyonel sayılara (A/B şeklinde) dönüştürülebilir.
Formül şöyledir: Sayının tamamı (virgül ve çizgisiz) - Devretmeyen kısım / Virgülden sonra kaç tane devirli rakam varsa o kadar 9, devretmeyen rakam varsa o kadar 0 yazılır. Örneğin, 2,45 devirli için (245 - 2) / 99 = 243/99.
Devirli ondalık sayıyı rasyonel sayıya çevirirken, payda için virgülden sonraki devirli rakamlar kadar 9, devretmeyen rakamlar kadar 0 kullanılır.
7,3 devirli sayısı için (73 - 7) / 9 = 66/9 şeklinde rasyonel sayıya çevrilir. 0,612 devirli sayısı ise (612 - 61) / 90 = 551/90 şeklinde rasyonel sayıya dönüştürülür.
Rasyonel Sayıları Sıralama
Sayı doğrusunda sağa gidildikçe sayılar büyür, sola gidildikçe küçülür; negatif sayılar her zaman pozitlerden küçüktür.
Bu temel kural, rasyonel sayılar için de geçerlidir. Pozitif rasyonel sayılar 0'ın sağında, negatifler ise solunda yer alır ve bu sıralamayı belirler.
Paydaları eşit olan rasyonel sayılarda, payı büyük olan sayı daha büyüktür.
Örneğin, 5/4 ve 3/4 karşılaştırıldığında, 5'in 3'ten büyük olması nedeniyle 5/4 daha büyüktür. Negatif sayılarda ise bu durum tersine döner (örneğin -5/4 < -3/4).
Payları eşit olan rasyonel sayılarda, paydası küçük olan sayı daha büyüktür (pozitif sayılar için).
Örneğin, 7/2 ve 7/3 karşılaştırıldığında, paydası 2 olan 7/2 daha büyüktür çünkü bir bütün daha az parçaya bölünmüştür. Negatiflerde ise bu kural tersine döner (-7/2 < -7/3).
Kesirleri sıralarken paydaları eşitlemek veya pay yapılarak karşılaştırma yapmak etkili yöntemlerdir.
Farklı paydalara sahip kesirleri sıralamak için, tüm kesirlerin paydaları ortak bir katında eşitlenir (örneğin, 2/5 ve 1/10 için paydalar 10'da eşitlenir: 4/10 ve 1/10). Daha sonra paylar karşılaştırılır.
Negatif rasyonel sayılar sıralanırken, önce pozitifmiş gibi düşünüp sonra büyüktür/küçüktür işareti ters çevrilir.
Örneğin, -1/2 ve -1/4 sıralanırken, önce 1/2 ve 1/4 karşılaştırılır (1/2 > 1/4). Sonra işaretler ters çevrilerek -1/2 < -1/4 sonucuna ulaşılır.
Rasyonel sayılar, 0 ve 1'e (veya -1'e) olan yakınlıklarına göre de sıralanabilir.
Basit kesirler 0 ile 1 arasında yer alır. Bir kesrin 1'e ne kadar yakın olduğunu anlamak için 1'den çıkararak kalan miktarına bakılır. 1'e daha yakın olan kesir daha büyüktür (pozitifler için).
Birleşik kesirler her zaman basit kesirlerden daha büyüktür.
Bu kural pozitif sayılar için geçerlidir. Örneğin, 5/4 (birleşik) her zaman 3/4 gibi bir basit kesirden daha büyüktür.
Ask a Question
*Uses 1 Wisdom coin from your coin balance
